\u8bbe$K$\u662f\u4e00\u4e2a\u6709\u9650\u57df\uff0c$f\\in K[X]$\u5ea6\u6570\u4e3a$n$\u4e14\u4e0d\u53ef\u7ea6\u3002\u5219$f$\u53ef\u5206\u4e14$\\mathrm{Gal}(f)$\u662f$n$\u9636\u5faa\u73af\u7fa4\u3002<\/p>\n
<\/p>\n
\u8bc1\u660e. Seien $p=\\mathrm{char}(K)$ ein Primzahl und $q=\\left| K \\right|$ mit $q=p^k$ f\u00fcr ein $k\\in\\mathbb{N}$. Angenommen, dass $f$ inseparabel ist. Nach Satz 6.27 gibt es ein separabeles $g\\in K[X]$ und ein $r\\ge 1$ mit
\n\\[
\nf=g(X^{p^r})=a_0+a_1X^{p^r}+a_2X^{2p^r}+\\cdots+a_mX^{mp^r}
\n\\]<\/p>\n
Da $K$ endlich ist, ist $K$ perfekt. Der Frobenius-Endomorphismus $K\\to K,a\\mapsto a^p$ ist dann bijektiv. F\u00fcr $i=0,\\dots,m$ gibt es $b_i\\in K$ mit $a_i=b_i^{p^r}$:
\n\\[
\nf=b_0^{p^r}+b_1^{p^r}X^{p^r}+b_2^{p^r}X^{2p^r}+\\cdots+b_m^{p^r}X^{mp^r}
\n\\]<\/p>\n
Nach Proposition 6.24 k\u00f6nnen wir $f$ als
\n\\[
\n(b_0+b_1X+b_2X^{2}+\\cdots+b_mX^{m})^{p^r}
\n\\]
\nschreiben, was aber Widerspruch von die Irreduzibelit\u00e4t von $f$ ist.<\/p>\n
Sei $\\alpha$ eine Nullstelle von $f$. Da $f$ irreduzibel ist, gilt es $[K(\\alpha):K]=n$.<\/p>\n
Es gilt
\n\\begin{align*}
\nf(\\alpha^{q})&=a_0+a_1 (\\alpha^{q})+\\cdots+a_n(\\alpha^{q})^n\\\\
\n&=(a_0)^{q}+(a_1)^{q}(\\alpha)^{q}+\\cdots+(a_n)^{q}(\\alpha^n)^{q}\\\\
\n&=(\\sum_{i=0}^n a_i \\alpha^i)^{q}\\\\
\n&=0
\n\\end{align*}
\n, da $1=a_i^{q-1}\\in K=\\F_q$ f\u00fcr $i=0,\\dots,n$.<\/p>\n
Klar dann dass $\\alpha^{q},\\alpha^{q^2},\\dots,\\alpha^{q^{n-1}}\\in K(\\alpha)$ paarweise verschiede Nullstellen von $f$ sind, da $f$ separabel ist. Daraus folgt dass $K(\\alpha)$ Zerf\u00e4lungsk\u00f6rper von $f$ ist. Nach Satz 7.5 gilt es
\n\\[
\n\\left| \\mathrm{Gal}(f) \\right|=\\left| \\mathrm{Gal}(K(\\alpha)\/K) \\right|=[K(\\alpha):K]=n
\n\\]<\/p>\n
Definiere
\n\\begin{align*}
\n\\sigma: L&\\to L\\\\
\nx&\\mapsto x^q
\n\\end{align*}<\/p>\n
Sei $x\\in K=\\F_q$. Es gilt $\\sigma(x)=x^q=x$, da $x^{q-1}=1$ in $\\F_q$ gilt. S.d. gilt $\\sigma\\in \\mathrm{Gal}(K(\\alpha),K)$.<\/p>\n
Betrachten wir nun $\\sigma^k(x)=x^{q^k}$. $\\sigma^k=\\operatorname{id}$ gilt genau dann wenn $x^{q^k}=x$ f\u00fcr alle $x\\in K(\\alpha)=\\F_{q^n}$ gilt, was $\\F_{q^n}\\subseteq\\F_{q^k}$ folgt. Da $k=[\\F_{q^k}:\\F]=[\\F_{q^k}:\\F_{q^n}]\\cdot[\\F_{q^n}:\\F]=[\\F_{q^k}:\\F_{q^n}]\\cdot n$, ist $k$ ein Vielfach von $n$ und dann gilt $\\mathrm{ord}(\\sigma)=n$.<\/p>\n
Schlie\u00dflich erhalten wir
\n\\[
\n\\mathrm{Gal}(f)=\\langle \\sigma \\rangle\\cong \\Z\/n\\Z
\n\\]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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