克罗内克符号
勒让德符号
定义
对$p$奇质数，$n\in\Z,p\nmid n$定义勒让德符号
\begin{align*}
\left(\frac{n}{p}\right)=\left\{\begin{array}{c}
1\quad &n\equiv \square\mod p\\
-1\quad &n\not\equiv \square\mod p
\end{array}\right.
\end{align*}
其中$\square$是一个完全平方数。若$(\frac{n}{p})=1$，$n$被称为$p$的二次剩余。
原始定义：\begin{align*}\left(\frac{n}{p}\right)\equiv n^{\frac{p-1}{2}}\mod p\end{align*}
性质
- $\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$
- 若$a\equiv b\mod p$，则$\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)$
- \[ \left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}} \]
- \[\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}\]
- 二次互反律：设$p,q$为奇质数，有\[\left(\frac{p}{q}\right)\cdot\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}\]
雅可比符号
定义
推广到正奇数。
设$m$是一个正奇数，其质因数分解式为$m=\prod_{i=1}^s p_i$，并且$(n,m)=1$，那么定义\[\left(\frac{n}{m}\right)=\prod_{i=1}^s \left(\frac{n}{p_i}\right)\]
克罗内克符号
定义
推广到整数。
设$m$是非零整数，具有质因数分解\[m=u\cdot p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}\]，其中$u$是单位。设$n$是一个整数，定义\[\left(\frac{n}{m}\right)=\left(\frac{n}{u}\right)\prod_{i=1}^k \left(\frac{n}{p_i}\right)^{e_i}\]
对$p=2$定义\begin{align*}\left(\frac{n}{2}\right)=\left\{\begin{array}{l} 0&\qquad n \text{是偶数}\\ 1&\qquad n\equiv \pm 1\pmod8\\ -1&\qquad n\equiv \pm 3\pmod8\\ \end{array}\right.\end{align*}
$\left(\frac{n}{u}\right)$在$u=1$时等于$1$，在$u=-1$时定义 \begin{align*} \left(\frac{n}{-1}\right)=\left\{\begin{array}{cc} -1&\qquad n<0\\ 1&\qquad n\ge0 \end{array}\right. \end{align*}
特别地，定义 \begin{align*} \left(\frac{n}{0}\right)=\left\{\begin{array}{cc} 1&\qquad n=\pm1\\ 0&\qquad \text{其他} \end{array}\right. \end{align*}
性质
设$K=\Q(\sqrt{d}),m=\operatorname{disc}(K)$。二次域对应的二次狄里克雷特征恰由克罗内克符号给出，即 \[ \chi_m(n)=\left(\frac{m}{n}\right) \] 是模$\left| m \right|$的本原二次狄里克雷特征。它对应了质数在$K$中的分解行为： \begin{align*} \chi_{m}(p)= \begin{cases} 1,&p\text{ 在 }K\text{ 中分裂},\\ -1,&p\text{ 在 }K\text{ 中惰性},\\ 0,&p\text{ 在 }K\text{ 中分歧}. \end{cases} \end{align*}
于是，戴德金$\zeta$函数的欧拉因子可分解为： \[ \zeta_K(s)=\zeta(s)L(s,\chi_{m}) \]