[Latex测试]有限域上的不可约多项式的伽罗瓦群是循环群

设$K$是一个有限域，$f\in K[X]$度数为$n$且不可约。则$f$可分且$\mathrm{Gal}(f)$是$n$阶循环群。

证明. Seien $p=\mathrm{char}(K)$ ein Primzahl und $q=\left| K \right|$ mit $q=p^k$ für ein $k\in\mathbb{N}$. Angenommen, dass $f$ inseparabel ist. Nach Satz 6.27 gibt es ein separabeles $g\in K[X]$ und ein $r\ge 1$ mit
\[
f=g(X^{p^r})=a_0+a_1X^{p^r}+a_2X^{2p^r}+\cdots+a_mX^{mp^r}
\]

Da $K$ endlich ist, ist $K$ perfekt. Der Frobenius-Endomorphismus $K\to K,a\mapsto a^p$ ist dann bijektiv. Für $i=0,\dots,m$ gibt es $b_i\in K$ mit $a_i=b_i^{p^r}$:
\[
f=b_0^{p^r}+b_1^{p^r}X^{p^r}+b_2^{p^r}X^{2p^r}+\cdots+b_m^{p^r}X^{mp^r}
\]

Nach Proposition 6.24 können wir $f$ als
\[
(b_0+b_1X+b_2X^{2}+\cdots+b_mX^{m})^{p^r}
\]
schreiben, was aber Widerspruch von die Irreduzibelität von $f$ ist.

Sei $\alpha$ eine Nullstelle von $f$. Da $f$ irreduzibel ist, gilt es $[K(\alpha):K]=n$.

Es gilt
\begin{align*}
f(\alpha^{q})&=a_0+a_1 (\alpha^{q})+\cdots+a_n(\alpha^{q})^n\\
&=(a_0)^{q}+(a_1)^{q}(\alpha)^{q}+\cdots+(a_n)^{q}(\alpha^n)^{q}\\
&=(\sum_{i=0}^n a_i \alpha^i)^{q}\\
&=0
\end{align*}
, da $1=a_i^{q-1}\in K=\F_q$ für $i=0,\dots,n$.

Klar dann dass $\alpha^{q},\alpha^{q^2},\dots,\alpha^{q^{n-1}}\in K(\alpha)$ paarweise verschiede Nullstellen von $f$ sind, da $f$ separabel ist. Daraus folgt dass $K(\alpha)$ Zerfälungskörper von $f$ ist. Nach Satz 7.5 gilt es
\[
\left| \mathrm{Gal}(f) \right|=\left| \mathrm{Gal}(K(\alpha)/K) \right|=[K(\alpha):K]=n
\]

Definiere
\begin{align*}
\sigma: L&\to L\\
x&\mapsto x^q
\end{align*}

Sei $x\in K=\F_q$. Es gilt $\sigma(x)=x^q=x$, da $x^{q-1}=1$ in $\F_q$ gilt. S.d. gilt $\sigma\in \mathrm{Gal}(K(\alpha),K)$.

Betrachten wir nun $\sigma^k(x)=x^{q^k}$. $\sigma^k=\operatorname{id}$ gilt genau dann wenn $x^{q^k}=x$ für alle $x\in K(\alpha)=\F_{q^n}$ gilt, was $\F_{q^n}\subseteq\F_{q^k}$ folgt. Da $k=[\F_{q^k}:\F]=[\F_{q^k}:\F_{q^n}]\cdot[\F_{q^n}:\F]=[\F_{q^k}:\F_{q^n}]\cdot n$, ist $k$ ein Vielfach von $n$ und dann gilt $\mathrm{ord}(\sigma)=n$.

Schließlich erhalten wir
\[
\mathrm{Gal}(f)=\langle \sigma \rangle\cong \Z/n\Z
\]