双二次域扩张中素理想的分解行为
设$m,n\neq1$是互不相同的无平方因子的整数。双二次域$K=\Q[\sqrt m,\sqrt n]$是$\Q$的正规扩张，其伽罗瓦群$G\cong V_4$。其三个二次子域我们记为$F_1,F_2,F_3$，对应的伽罗瓦群记为$H_1,H_2,H_3$。设$p$是$\Z$上的一个素数，$\mathfrak{P}$是$\mathcal{O}_K$中$p$之上的素理想。设$G_\mathfrak{P}\subseteq G$为$\mathfrak{P}$的分解群，$I_\mathfrak{P}\subseteq G_\mathfrak{P}$为$\mathfrak{P}$的惯性群。如下关系成立：
\[
\Q\subseteq K^{G_\mathfrak{P}}\subseteq K^{I_\mathfrak{P}}\subseteq K
\]
断言1：若$p$在每个二次子域上都分歧，则$p$在$K$上完全分歧，即$p\mathcal{O}_K=\mathfrak{P}^4$。
已知惯性域$K^{I_\mathfrak{P}}$是$K$中满足$p$不分歧的最大子域，又$p$在$F_1,F_2,F_3$中都分歧，我们有$F_1\nsubseteq K^{I_\mathfrak{P}},F_2\nsubseteq K^{I_\mathfrak{P}},F_3\nsubseteq K^{I_\mathfrak{P}}$。
考虑克莱因四元群的伽罗瓦对应，$K$的子域只有$\Q,F_1,F_2,F_3,K$。假设$K^{I_\mathfrak{P}}=K$，则$p$在整个$K$中都不分歧，矛盾。故$K^{I_\mathfrak{P}}=\Q$。我们得到惯性群$I_{\mathfrak{P}}=\mathrm{Gal}(K/\Q)=G$，所以分歧指数$e=\left| I_{\mathfrak{P}}\right|=4$，即$p$在$K$上完全分歧。
断言2：若$p$在每个二次子域上都完全分裂，则$p$在$K$上完全分裂，即$p\mathcal{O}_K=\mathfrak{P_1}\mathfrak{P_2}\mathfrak{P_3}\mathfrak{P_4}$。
已知分解域$K^{G_\mathfrak{P}}$是$K$中满足$p$完全分裂的最大子域，又$p$在$F_1,F_2,F_3$中都完全分裂，我们有$F_1\subseteq K^{G_\mathfrak{P}},F_2\subseteq K^{G_\mathfrak{P}},F_3\subseteq K^{G_\mathfrak{P}}$，并得到$F_1\cdot F_2\cdot F_3\subseteq K^{G_\mathfrak{P}}$。
考虑克莱因四元群的伽罗瓦对应，我们有$F_1\cdot F_2\cdot F_3=K^{G_\mathfrak{P}}$，于是$K^{G_\mathfrak{P}}=K$。我们得到分解群$G_{\mathfrak{P}}=\mathrm{Gal}(K/K)=\left\{1\right\}$，所以$e\cdot f=\left|G_{\mathfrak{P}}\right|=1$，即$p$在$K$上完全分裂。
断言3：$p$不可能在每个二次子域上都保持惯性。
假设$p$在$F_i$上保持惯性，其中$i\in\{1,2,3\}$，则$p$在$F_i$上不分歧，因此$F_i\subseteq K^{I_{\mathfrak{P}}}$。同上，我们得到$K^{I_{\mathfrak{P}}}=K$，于是$I_{\mathfrak{P}}=\mathrm{Gal}(K/K)=\left\{1\right\}$。
又$p$在$F_i$上保持惯性，$p$在$F_i$上不分裂，意味着$F_i\nsubseteq K^{G_\mathfrak{P}}$。同上，$K$的子域只有$\Q,F_1,F_2,F_3,K$，假设$K^{G_\mathfrak{P}}=K$，则$p$在整个$K$中都完全分裂，矛盾。故$K^{G_\mathfrak{P}}=\Q$。我们得到分解群$G_{\mathfrak{P}}=\mathrm{Gal}(K/\Q)=G$，于是有：
\[
\mathrm{Gal}\left((\mathcal{O}_K/\mathfrak{P})/\mathbb{F}_p\right)=G_\mathfrak{P}/I_{\mathfrak{P}}=G\cong V_4
\]
矛盾，因为有限域的有限扩张的伽罗瓦群一定是循环的，而$V_4$非循环。
待续。